Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 65
Mostre que a equação polar , onde , representa um círculo, e encontre seu centro e seu raio.
Passo 1
Então meu amigo. A gente vai resolver juntos essa atividade.
Precisamos provar que a equação:
Representa um círculo.
Para isso, vamos organizar a equação de maneira que ela se aproxima da equação de uma circunferência:
Para isso, vamos multiplicar os dois lados da equação por :
Passo 2
Como sabemos que:
E
Podemos substituir na equação:
Além disso, por conta da identidade trigonométrica:
Por conta da identidade trigonométrica:
Então ficamos com:
Passo 3
Passando tudo para o lado esquerdo:
Somando para completarmos o quadrado:
Em ambos os lados:
Completando quadrados:
Que é a equação de uma circunferência.
Passo 4
O raio será dado pela raiz do lado direito:
E o centro é dado pelos termos que estão subtraindo e nos quadrados do lado esquerdo: