Esboce a curva com equação dada.

r^2 = 4 * cos(2θ)

Passo 1

O problema pede para esboçarmos a curva em coordenadas polares. Neste caso, vamos isolar r primeiro:

r = +- 2 sqrt(cos 2 theta)

Como o cosseno está dentro de uma raiz, devemos ter

cos 2 theta >= 0 => 0 <= 2 theta <= (pi)/(2) o u (3 pi)/(2) <= 2 theta <= 2 pi

Portanto, theta não pode assumir qualquer valor:

0 <= theta <= (pi)/(4) o u (3 pi)/(4) <= theta <= pi

Para r = 2 sqrt(cos 2 theta) no primeiro intervalo, conforme theta vai de 0 até pi // 4 , r vai de 2 até 0 :

Já no segundo intervalo, r vai de 0 até 2 conforme theta cresce:

Passo 2

Para r = - 2 sqrt(cos 2 theta) , o comportamento é o mesmo, porém as curvas são rebatidas para os quadrantes opostos já que r < 0 :

Em verde temo o intervalo 0 <= theta <= pi // 4 e em laranja o outro.

Juntando todos os pedaços, encontramos o esboço da curva:

Resposta

Esboço.

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