Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 6
Esboce o gráfico.
Passo 1
Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é .
Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e do produto para achar :
Vamos então aplicar:
Passo 2
Agora vamos analisar o sinal de igualando a zero:
Vamos analisar o sinal da expressão, vai ser sempre positivo:
Para temos:
A expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
Temos que em:
E em:
Como é contínua temos que:
é estritamente crescente em
é estritamente decrescente em
Passo 3
Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de :
Igualando a :
Vamos analisar agora o sinal de , vai ser sempre positivo:
Para temos:
A expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
em , tendo a concavidade voltada para cima, e em , tendo a concavidade voltada para baixo.
O ponto de inflexão é em , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.
Passo 4
Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de para e :
Passo 5
Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:
Resposta
