Esboce o gráfico.

y = raiz(x^2 - 4)

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Antes de começar a esboçar qualquer gráfico é importante a gente saber qual o domínio dele.

Como trata-se de uma raiz quadrada, temos uma restrição quanto ao argumento que só pode ser positivo, ou seja,

x 2 - 4 > 0

x > ± 2

Logo, temos que o dominio é D y = - ∞ , - 2 ∪ 2 , + ∞ .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento! Para isso derivar e fazer o estudo do sinal!

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia! Então temos que,

y ' = x 2 - 4 ' = x 2 - 4 1 2 ' = x 2 - 4 1 2 ' x 2 - 4 '

Lembrando que a derivada do polinômio e da função constante são:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Vamos então aplicar:

y ' = x 2 - 4 1 2 ' = 1 2 x 2 - 4 2 x

Ajeitando,

y ' = x x 2 - 4

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de y ' igualando a zero:

x = 0

Temos que analisar o denominador também, evitando que ele seja nulo, assim:

x 2 - 4 = 0 → x + 2 x - 2 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 4

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que y ' > 0 em:

2 , + ∞

Então y é estritamente crescente em 2 , + ∞

E y ' < 0 em:

- ∞ , - 2

Então y é estritamente decrescente em - ∞ , - 2

Lembrando que nos outros intervalos a função não é definida.

Passo 5

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de y ' ' .

Para isso vamos usar mais uma regra, a da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Aplicando:

y ' ' = x x 2 - 4 ' = x ' x 2 - 4 - x x 2 - 4 ' x 2 - 4 2

Derivando,

y ' ' = 1 x 2 - 4 - x x x 2 - 4 x 2 - 4

Ajeitando

y ' ' = x 2 - 4 - x 2 x 2 - 4 x 2 - 4

y ' ' = x 2 - 4 - x 2 x 2 - 4 x 2 - 4

y ' ' = - 4 x 2 - 4 1 x 2 - 4

Por fim,

y ' ' = - 4 x 2 - 4 x 2 - 4

Vamos analisar agora o sinal de y ' ' onde o denominador não pode ser igual a 0 :

y ' ' < 0 em x < - 2 e x > 2 , tendo a concavidade voltada para baixo.

Não há ponto de inflexão, pois não há uma mudança de concavidade.

Passo 6

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de y para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞

Passo 7

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico juntando todas as informações. Ele fica assim:

Resposta

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