Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 37

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

Passo 1

Oi meus queridos, tudo certo com vocês?

Aqui nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será .

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

Se :

Como :

Logo,

Assim,

Portanto, nossa curva cruza o eixo nos pontos .

Passo 3

Para analisarmos a simetria, é importante vermos se nossa função é ímpar, par ou se não possui paridade. Então vem comigo!

Vamos ver como fica o :

Como o seno é uma função ímpar:

Com isso, vemos que . Portanto, nossa função será ímpar o que nos leva a concluir que a curva será simétrica com relação ao eixo .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

Assíntota horizontal

Da trigonometria:

Logo,

Somando com :

Pelo Teorema do Sanduiche concluímos que o limite não existe, pois nossa função fica oscilando entre os valores e . Portanto, não haverá assíntotas horizontais.

A gente também pode simplesmente falar que essas funções são funções periódicas e que portanto não possuem limite quando o seu argumento tende a infinito.

Não haverá assíntotas verticais, pois a função é definida em todo o conjunto dos reais, logo não apresenta descontinuidades.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .

Derivando,

Como :

Fatorando:

Para :

Resolvendo a inequação:

Logo, nossa curva será crescente no intervalo acima.

Para :

Resolvendo a inequação:

Então nossa curva será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :

Logo,

Então podemos ter ou .

Se :

Passo 7

Para acharmos a concavidade da curva vamos analisar seu crescimento e decrescimento. Vem comigo!

Como a curva cresce de até e decresce até o . Isso significa que em teremos um ponto de máximo, portanto, concavidade para baixo no intervalo . O mesmo ocorre para todos os valores da forma .

Outra coisa que sabemos é que a curva é decresce de até e começa a crescer até . Isso quer dizer que teremos um ponto de mínimo, portanto, concavidade para baixo no intervalo . O mesmo irá ocorrer para valores da forma .