Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 20
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Oi meus coleguinhas!
Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
A única coisa que precisamos tomar cuidado é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. Assim,
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos. Se :
Logo,
ou
E para :
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Quando a função cresce muito mais rápido que a função . Assim, podemos despreza-la.
Portanto,
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Agora vamos ver os pontos onde e os pontos onde .
Avaliando o sinal da nossa derivada, temos que é um fator que é sempre positivo. Portanto quem irá ditar o sinal da derivada é o fator .
Para os pontos :
Multiplicando ambosos lados por e assim invertendo a desigualdade temos:
Elevando ao quadrado.
Como negativo não está no domínio dessa função, nosso resultado será:
Para os pontos :
Logo,
.
Portanto a função cresce em e decresce em
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Então, temos:
Esse é um ponto de máximo local, pois a função crescia antes dele e depois ela passa a decrescer.
Passo 7
Pra finalizar, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, temos que achar .
Logo,
Simplificando:
Avaliando o sinal dessa segunda derivada vemos que o fator é sempre positivo para . Portanto a segunda derivada é sempre negativa.
Dessa forma a função é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.
Passo 8
Agora basta fazermos o esboço do nosso gráfico, colocando um máximo em e fazendo uma função que é sempre côncava para baixo e que começa em , .
Resposta
