Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 22
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Faaala aí... bora pra mais uma?Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Nessa questão precisamos tomar cuidado com duas coisas, uma é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. E a outra é que o denominador não pode ser .
Avaliando o sinal desse termo temos que é positivo quando e que é positivo quando .
Portanto, é positivo quando e quando .
Resolvendo a inequação:
ou
Então, esse é o domínio da função.
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
- Assíntota Vertical:
Colocando o em evidencia no denominador:
Simplificando:
Quando , então :
O mesmo acontece para . Logo, teremos uma assíntota horizontal:
Quando :
Assim, teremos a assíntota vertical:
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Repare que é negativo para todos os valores de pertencente ao domínio, pois o termo é sempre positivo, mas esse termo está sendo multiplicado por .
Dessa forma a função é sempre decrescente e não possui máximos ou mínimos.
Passo 6
Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de .
Derivando,
Para :
O fator é positivo quando:
O fator é positivo quando:
E o fator é positivo quando:
Dessa forma, quando , temos que a segunda derivada é negativa, pois é negativo, é negativo e é negativo.
E quando , temos que a segunda derivada é positiva, pois é positivo, é positivo e é positivo.
Logo a nossa curva é côncava para baixo em e ela é côncava para cima em . Não precisamos avaliar em outros intervalos, pois esse já é o domínio da função.
Passo 7
Esboçando um gráfico, temos uma função côncava para baixo até e côncava para cima a partir de . Uma função que sempre decresce e que não possui extremos, com assíntota vertical em .
Resposta
