Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 22

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

Passo 1

Faaala aí... bora pra mais uma?Aqui nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

Nessa questão precisamos tomar cuidado com duas coisas, uma é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. E a outra é que o denominador não pode ser .

Avaliando o sinal desse termo temos que é positivo quando e que é positivo quando .

Portanto, é positivo quando e quando .

Resolvendo a inequação:

Então, esse é o domínio da função.

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

Se :

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

Vamos ver como fica o :

Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

Assíntota horizontal:

Colocando o em evidencia no denominador:

Simplificando:

Quando , então :

O mesmo acontece para . Logo, teremos uma assíntota horizontal:

Assíntota Vertical:

Quando :

Assim, teremos a assíntota vertical:

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .

Assim,

Isto é,

Repare que é negativo para todos os valores de pertencente ao domínio, pois o termo é sempre positivo, mas esse termo está sendo multiplicado por .

Dessa forma a função é sempre decrescente e não possui máximos ou mínimos.

Passo 6

Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de .

Derivando,

Para :

O fator é positivo quando:

E o fator é positivo quando:

Dessa forma, quando , temos que a segunda derivada é negativa, pois é negativo, é negativo e é negativo.

E quando , temos que a segunda derivada é positiva, pois é positivo, é positivo e é positivo.

Logo a nossa curva é côncava para baixo em e ela é côncava para cima em . Não precisamos avaliar em outros intervalos, pois esse já é o domínio da função.

Passo 7

Esboçando um gráfico, temos uma função côncava para baixo até e côncava para cima a partir de . Uma função que sempre decresce e que não possui extremos, com assíntota vertical em .