Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 45
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Oiee, bora resolver mais uma comigo
Primeiro, determinamos o domínio da função
- A função é definida para todos os valores reais de
- Portanto, o domínio da função é todos os números reais .
Vamos verificar a simetria da função pode simplificar o esboço da curva.
- Para verificar a simetria:
- Uma função é par se
- Uma função é ímpar se
Verificamos
Isso não é igual a nem a então a função não é par nem ímpar.
Passo 2
Analisamos o comportamento da função para valores extremos de (quando e
- Para
À medida que , muito rapidamente, então
- Para
À medida que
,
e
o produto
.
Passo 3
Calculamos a derivada para entender o comportamento monótono da função.
Usamos a regra do produto para derivar:
Analisamos os pontos críticos onde :
Como nunca é zero, temos:
Analisamos o sinal da derivada em torno deste ponto crítico:
- Para
A função é crescente.
- Para \( x > 1 \):
A função é decrescente.
Portanto, é um ponto de máximo local.
Passo 4
Calculamos quando
- A função tem um domínio em todos os números reais.
- A função não é simétrica.
- A função é crescente para e decrescente para
- Interseção com o eixo y em
- A função tem um máximo local em
Calculamos o valor da função no ponto de máximo local:
Com base nas análises acima, podemos esboçar a curva da função
1. A função começa em
2. Cresce até atingir o máximo local em
3. Decresce para e se aproxima de 0 para
4. Decresce para e se aproxima de 0 para
-
-
- Para
- Para
Passo 5
O esboço da curva é aproximadamente assim:
O gráfico é uma curva que começa em (0,0), cresce até e depois decresce, aproximando-se de para grandes valores positivos e negativos de
Resposta
Vide o passo a passo