Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 30
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Oi meus queridos! Como vão vocês?
Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será .
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Logo,
Então, temos:
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Logo,
Como , então nossa função é par, isto é, a curva será simétrica com relação ao eixo .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Quando , podemos considerar o desprezível. Logo,
Fazendo a mesma simplificação para :
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Avaliando o sinal dessa derivada temos que os fatores:
é sempre positivo.
é positivo quando:
é positivo quando:
Portanto,
Logo, temos que nos intervalos:
a função possui derivada , pois é negativo e é positivo.
a função possui derivada , pois é negativo e é negativo.
a função possui derivada , pois é positivo e é negativo.
a função possui derivada , pois é positivo e é positivo.
Dessa forma, a função é crescente no intervalo: .
E a função é decrescente no intervalo: .
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
O único cuidado que devemos tomar é garantir que o denominador será diferente de . Assim,
Logo,
Resolvendo, temos o seguinte:
Portanto,
ou
Isto é,
Sendo que é um ponto de mínimo local, pois a função decrescia antes dele e depois ela passa a crescer.
é um ponto de máximo local, pois a função crescia antes dele e depois ela passa a decrescer.
é um ponto de mínimo local, pois a função decrescia antes dele e depois ela passa a crescer.
Passo 7
Para isso, vamos ver o sinal de nesse ponto.
Derivando,
Avaliando o sinal dessa derivada temos que:
é sempre positivo.
é positivo quando:
Portanto,
Dessa forma,a função é côncava para cima em e ela é côncava para baixo em .
Temos que e são pontos de inflexão.
Passo 8
Esboçando um gráfico que cruza o eixo em , decresce até , depois cresce até , decresce até e cresce daí então. Uma função que é simétrica com relação ao eixo . Que possui mínimo local em e e que possui máximo local em . Concavidade para cima em e em , e entre a concavidade é para baixo, temos o seguinte:
Resposta
