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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 36

Calcule a integral.

∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t

Passo 1

Fala! Belezinha?

O problema pede apenas para integrarmos uma função, e é bem tranquilo fazermos isso. Basta integrar individualmente todos os termos e calcular os limites de integração.

Bingo!

Passo 2

A integral de uma função vetoria é obtida integrando-se seus componentes. Temos

∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t

Vamos separar os termos em integrais individuais

∫ 1 4 t i ^ d t + ∫ 1 4 t e - t j ^ d t + ∫ 1 4 1 t 2 k ^ d t

Passo 3

Vamos integral!

Primeira parte!

∫ 1 4 t i ^ d t = ∫ 1 4 t 1 2   i ^ d t

Calculando a integral definida

2 3 t 1 2 + 1 i ^ 1 4 = 2 3 t 3 / 2 i ^ 1 4

Substituindo os limites de integração.

= 2 3   4 3 / 2 - 2 3 1 3 / 2

Vamos calcular 4 3 2 e 1 3 2

4 3 / 2 = 4 3 1 / 2 = 64 1 / 2 = 8

1 3 2 = 1

Substituindo da expressão

= 2 3   . 8 - 2 3 . 1

= 16 3 - 2 3

= 14 3

Passo 4

Calculando a segunda parte da integral.

∫ 1 4 t e - t j ^ d t

Nesta integral teremos que aplicar a integração por partes. Envolve a aplicação da equação.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Temos então u = t ,   d u = d t ,   d v = - e - 1 e   v = e - t

= - t e - t 1 4 + ∫ 1 4 e - t   d t

Agora temos que resolver a integral que foi gerada a partir da integração por partes

∫ 1 4 e - t   d t = - e - 1 1 4

Temos então

= - t e - t 1 4 + - e - 1 1 4

Resolvendo os limites de integração

= - 4 e - 4 + e - 1 - e - 4 + e - 1

Passo 5

Última parte!!!

∫ 1 4 1 t 2 k ^ d t

Vamos aplicar a regra de integração simples

∫ 1 4 1 t 2 k ^ d t = - t - 1 k ^ 1 4

Aplicando os limites de integração.

= - 4 - 1 k ^ + 1 - 1 k ^

= ( - 1 4 + 1 ) k ^

Passo 6

Vamos juntar?

= 16 3 - 2 3 i ^ + - 4 e - 4 + e - 1 - e - 4 + e - 1 j ^ + - 1 4 + 1 k ^

= 16 3 - 2 3 i ^ + - 5 e - 4 + 2 e - 1 j ^ + - 1 4 + 1 k ^

= 14 3 i ^ + e - 1 2 - 5 e - 3 j ^ + 3 4 k ^

Resposta

14 3 i ^ + e - 1 2 - 5 e - 3 j ^ + 3 4 k ^

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Determine r ( t ) se r ' t = t 2 i ^ + 4 t 3 j ^ - t 2 k ^ e r 0 = j ^ .
Se vec u (t) = hat i - 2 t^2 hat j + 3 t^3 hat k e vec v (t) = t hat i + cos t hat j + s e n t hat k . Determine (d)/(d t) [ vec u (t) * vec v (t) ]
Determine vec r (t) se vec r ' (t) = s e n t hat i - cos t hat j + 2 t hat k e vec r (0) = hat i + hat j + 2 hat k
Sejam f t uma função real duas vezes derivável e a → e b → vetores constantes. Mostrar que se g → t = a → + b → f t , então g ' → t × g ' ' → t = 0 .
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:d) (vec g (t) * vec g (t))^'