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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 30

Em quais pontos a hélice r t = s e n   t , cos ⁡ t ,   t intercepta a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 ?

Passo 1

Olá, meu super esforçado e inteligente aluno. Vamos partir para mais uma resolução.

Galera, temos que descobrir os pontos de intersecção da curva paramétrica com a esfera, beleza?

Como temos uma esfera em coordenadas cartesianas e uma hélice em coordenadas paramétricas, o que a gente pode fazer é utilizar disso para resolvermos a atividade. Veja que elas irão se encontrar quando:

x t = sin ⁡ t

E

cos ⁡ t = y t

E

z t = t

Isso é, os pontos das coordenadas serão iguais.

Passo 2

Vamos começar igualando as variáveis assim:

x = x t = s e n   t

y = y t = cos ⁡ t

z = z t = t

Agora, vejamos para quais valores de t , a equação da esfera é satisfeita:

x 2 + y 2 + z 2 = 5

s e n 2   t + cos 2 ⁡ t + t 2 = 5

Utilizando da relação trigonométrica fundamental:

1 + t 2 = 5

t 2 = 4

t = - 2   ;   t = 2

Passo 3

Show! Tendo os valores de t , é só calcular os valores de x , y e z correspondentes:

Para t = 2 :

x - 2 = s e n - 2 = - s e n   2

y - 2 = cos ⁡ - 2 = cos ⁡ 2

z - 2 = - 2

Para t = - 2 :

x 2 = s e n   2

y 2 = cos ⁡ 2

z 2 = 2

Então os pontos de intersecção são: - s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   - 2 e ( s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   2 ) .

Resposta

- s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   - 2 e ( s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   2 )

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Determine o comprimento da curva dada. r t = 2 t , t 2 ⁡ , 1 3 t 3,0 ≤ t ≤ 1
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva r t = t + 2,1 - t , 1 2 t ² ² é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. r t = cos ⁡ 2 t , cos ⁡ 3 t , cos
Trace a curva com equações paramétricas x = s e n t , y = s e n 2 t , z = c o s 4 t . Explique sua forma representando por gráficos suas projeções para os três planos coordenados.
Combine as equações paramétricas com os gráficos (Figuras I-VI). Dê razões para suas escolhas: x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = 1 ( 1 + t 2 )