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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 30

Em quais pontos a hélice r t = s e n   t , cos ⁡ t ,   t intercepta a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 ?

Passo 1

Olá, meu super esforçado e inteligente aluno. Vamos partir para mais uma resolução.

Galera, temos que descobrir os pontos de intersecção da curva paramétrica com a esfera, beleza?

Como temos uma esfera em coordenadas cartesianas e uma hélice em coordenadas paramétricas, o que a gente pode fazer é utilizar disso para resolvermos a atividade. Veja que elas irão se encontrar quando:

x t = sin ⁡ t

E

cos ⁡ t = y t

E

z t = t

Isso é, os pontos das coordenadas serão iguais.

Passo 2

Vamos começar igualando as variáveis assim:

x = x t = s e n   t

y = y t = cos ⁡ t

z = z t = t

Agora, vejamos para quais valores de t , a equação da esfera é satisfeita:

x 2 + y 2 + z 2 = 5

s e n 2   t + cos 2 ⁡ t + t 2 = 5

Utilizando da relação trigonométrica fundamental:

1 + t 2 = 5

t 2 = 4

t = - 2   ;   t = 2

Passo 3

Show! Tendo os valores de t , é só calcular os valores de x , y e z correspondentes:

Para t = 2 :

x - 2 = s e n - 2 = - s e n   2

y - 2 = cos ⁡ - 2 = cos ⁡ 2

z - 2 = - 2

Para t = - 2 :

x 2 = s e n   2

y 2 = cos ⁡ 2

z 2 = 2

Então os pontos de intersecção são: - s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   - 2 e ( s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   2 ) .

Resposta

- s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   - 2 e ( s e n   2 , cos ⁡ 2 ,   2 )

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