Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 101
Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de forem contínuas, então:
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que demonstremos que, se as derivadas parciais de terceira ordem de forem contínuas, então podemos dizer que:
Para isso, devemos utilizar o Teorema de Clairaut.
Mas o que diz esse Teorema??
Bom... Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:
Ou seja, não importa a ordem de derivação!!
Agora vamos aplicar para três variáveis!! 😉
Passo 2
Utilizando esse raciocínio para o nosso caso de três variáveis, temos que:
Esse termo é a mesma coisa que:
Passo 3
Esse último termo, , também pode ser visto como:
E veja só!!! Também podemos dizer que:
Os colchetes foram utilizados para enfatizar os momentos em que o Teorema em questão foi utilizado, tudo bem? Sendo assim, fica provado que, de fato:
Resposta
Demonstração