Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular x^2 + y^2 = 4 com o cilindro parabólico z = x^2 . Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize um computador para desenhá-la.

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos tentar determinar as equações paramétricas da curva.

Se estamos falando de intersecção, então devemos achar equações paramétricas que possam satisfazer as equações das duas superfícies.

A gente vai começar parametrizando o cilindro circular, depois a gente vai utilizar a parametrização encontrada no cilindro circular, no cilindro parabólico e assim teremos as 3 variáveis parametrizadas.

Podemos parametrizar um cilindro circular com:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ t

E

y = r sin ⁡ t

Para desenhar a intersecção, iremos utilizar o GeoGebra.

Passo 2

Vamos começar com o cilindro circular:

x 2 + y 2 = 4

Uma boa parametrização pra esse cilindro é:

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t

Agora, para o cilindro parabólico, devemos ter:

z = x 2 = 2 cos ⁡ t 2 = 4 cos 2 ⁡ t

Então, as equações paramétricas da curva de intersecção serão:

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t   ,           z = 4 cos 2 ⁡ t

Agora, vamos utilizar um computador pra desenhar as duas superfícies e termos uma ideia de como é a curva de intersecção entre elas:

E utilizando as equações paramétricas já encontradas, vamos efetivamente desenhar a curva, beleza?

Resposta

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t   ,           z = 4 cos 2 ⁡ t

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