Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 43
Use a série de Maclaurin para para calcular com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Oi, galera! Tudo na boa?
A questão quer que a gente ache a série de Maclaurin de para calcular com 5 casas decimais de precisão.
Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:
Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas para algumas funções na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência e a função é uma delas.
Então o que precisamos fazer aqui é usar a série de Maclaurin de e achar o valor de substituindo (mas vamos ter que passar esse valor para radiano antes), somando os termos até chegarmos em um valor que vai “bater” com o valor real de até a quinta casa decimal.
Vamos pro passo a passo!
Passo 2
Quando usamos a função trigonométrica , temos que aplicar os ângulos em radianos. Então vamos começar fazendo a conversão de graus para radianos:
A conversão é feita multiplicando o valor do ângulo com :
Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10), já temos a série de Maclaurin para :
Fazendo , vamos somar o valor de que conseguimos somando os 4 primeiros termos da série (estamos usando 4 termos para testar, se não atingirmos a precisão que estamos procurando podemos somar mais termos).
Passo 3
Como calculando por , temos que:
Vemos que o valor que encontramos pela série está idêntico ao valor de até a quinta casa depois da vírgula, então podemos dizer que encontramos o valor de pela série de Maclaurin com 5 casas decimais de precisão.