Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 11
14.11. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.
Passo 1
A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à
E agora em relação a
Passo 2
Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então
Olha só, das duas equações nós tiramos a mesma conclusão
Então todos os pontos do tipo nos interessam.
Passo 3
Vamos analisar esses pontos nos quais estamos interessados, repare que
Isso é a mesma coisa que
Mas repare que é um quadrado perfeito, , então
Mas como nos pontos que temos interesse temos
Por que
Mas para qualquer outro ponto temos , então os pontos onde são todos pontos de máximo.
Passo 4
Agora a representação gráfica da nossa função
Resposta
Todos os pontos onde são pontos de máximo.