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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 9

Calcule a integral dupla

∬ D 2 y x 2 + 1 d A ,   D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x   }

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de integral? Vamos arrebentar!

Para resolver essa questão, precisamos escrever a integral dupla na forma iterada com os limites de integração adequados. Depois calcular a integral interna em relação a y e calcular a integral externa em relação a x .

Galera, primeiro, vamos escrever a integral dupla na forma iterada. A região D é delimitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x . Assim, podemos escrever a integral dupla como:

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 y x 2 + 1 d y d x

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a y :

∫ 0 x 2 y x 2 + 1 d y

Como 2 y x 2 + 1 é uma função de y multiplicada por uma constante em relação a y , podemos integrar diretamente:

∫ 0 x 2 y x 2 + 1 d y = 2 y x 2 + 1 ∫ 0 x y   d y

A integral de y é:

∫ 0 x y   d y = y 2 2 0 x

= ( x ) 2 2 - 0 2 2 = x 2

Substituindo de volta, temos:

2 x 2 + 1   .   x 2 = x x 2 + 1

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro para fora, assim:

∫ 0 1 y 2 x 2 + 1 0 x d x = ∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral externa em relação a x :

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Para resolver essa integral, fazemos a substituição u = x 2 + 1 , então d u = 2 x   d x ou 1 2 d u = x   d x .

Mudando os limites de integração:

  • Quando y = 0 , u = 0 3 = 0 .
  • Quando y = 1 , u = 1 3 = 1 .

A integral se transforma em:

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x = ∫ 1 2 1 2   .   1 u   d u

Simplificando a constante:

1 2 ∫ 1 2 1 u   d u

A integral de 1 u   é:

1 2 ln ⁡ u 1 2

Substituindo os limites de integração:

1 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 )

Sabemos que l n   1 = 0 , então:

1 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ 0 ) = 1 2 ln ⁡ 2

Resposta

1 2 ln ⁡ 2

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