1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Encontre r'(t) .
  3. Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t .

r(t) = 4 * sen(t^i) - 2 * cos(t^j), t = 3 * pi / 4

Passo 1

Fala ai pessoal! Belezinha? Para resolver esta questão basta substituir os dados da equação do vetor tangente e substituir o parâmetro t . E depois analisar para projetar o gráfico!

Bora!!!

Passo 2

Galera, a curva é dada pela seguinte equação:

r t = 4 s e n   t i ^ - 2 cos ⁡ t j ^

E a derivada da curva é:

r ' t = 4 cos ⁡ t i ^ + 2 s e n   t j ^

O vetor posição em t = 3 π / 4 é:

r 3 π 4 = 4 s e n   ( 3 π 4 ) i ^ - 2 cos ⁡ ( 3 π 4 ) j ^

r 3 π 4 = 2 2 i ^ + 2 j ^

Passo 3

O vetor tangente (derivada) em t = 3 π / 4 é:

r ' 3 π 4 = 4 cos ⁡ 3 π 4 i ^ + 2 s e n   3 π 4 j ^

r ' 3 π 4 = - 2 2 i ^ + 2 j ^

Passo 4

Vamos entender as componente para formar a curva.

A componente x ( t ) determina a coordenada x da curva em função do parâmetro t . Para a função dada x t = 4 s e n ⁡ t .   A amplitude da função s e n ( t ) é limitada entre - 1 e 1 . A função s i n ⁡ ( t ) é periódica, repetindo seu padrão ao longo do intervalo t ∈ ( - ∞ , ∞ ) .

A componente y ( t ) determina a coordenada y da curva em função do parâmetro t . Para a função dada y t = - 2 c o s ⁡ t .   A amplitude da função c o s ⁡ ( t ) também é limitada entre - 1 e 1 . Assim como s e n ⁡ ( t ) , a função c o s ( t ) é periódica.

Passo 5

Concluindo...

A curva formada pela função vetorial r ( t ) = 4 s e n ( t ) i - 2 c o s ( t ) j é uma elipse no plano x y , onde o ponto se move ao longo da elipse à medida que o parâmetro t varia. A amplitude, orientação e tamanho da elipse são controlados pelos coeficientes aplicados às funções seno e cosseno nas componentes x ( t ) e y ( t ) da função vetorial.

Esboçando o gráfico com os vetores posição e tangente, temos:

No gráfico acima, o vetor vermelho é o vetor posição e o vetor azul é o vetor tangente.

Resposta

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