Prove que são verdadeiras as afirmações seguintes.

(a) A B → . C D → + B C → . A D → + C A → . B D → = 0 , quaisquer que sejam os pontos A, B, C e D (Relação de Euler).

Passo 1

Bora lá!

Para começarmos a nossa resolução, vamos considerar os pontos A, B, C e D, e seus respectivos vetores, os quais, para facilitar o entendimento da questão, serão dispostos segundo a figura abaixo:

Passo 2

Primeiramente, ao analisarmos a nossa figura, podemos notar que cada um dos vetores pode ser escrito pela soma ou subtração de outros dois. Ou seja, tomando como exemplo o vetor C D → , temos:

A C → + C D → = A D → → C D → = A D → - A C →

Beleza?

Dessa forma, partiremos da igualdade do enunciando e substituiremos os termos por outros equivalentes, através do método descrito acima. Assim, temos:

A B → . C D → + B C → . A D → + C A → . B D → = A B → . A D → - A C → + A C → - A B → . A D → + C A → . ( A D → - A B → )

Passo 3

Agora, vamos aplicar a nossa já conhecida propriedade distributiva e, especificamente no último termo, trocaremos C A → por - A C → , obtendo:

A B → . C D → + B C → . A D → + C A → . B D → = A B → . A D → - A C → + A C → - A B → . A D → + C A → . A D → - A B → =

= A B → . A D → - A B → . A C → + A C → . A D → - A B → . A D → - A C → . A D → + A C → . A B → = 0

Resposta

Portanto, de fato, A B → . C D → + B C → . A D → + C A → . B D → = 0

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