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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 62b

Sejam vec a e vec b nao-nulos.

(b) Obtenha a expressão para p r o j_vec u p r o j_vec v p r o j_vec u vec v .

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, devemos obter uma expressão para p r o j_vec u p r o j_vec v p r o j_vec u vec v , sendo vec u e vec v não nulos, certo?

Vamos usar o mesmo raciocínio que usamos na letra (a).

Passo 2

Primeiramente, vamos usar a definição de projeção ortogonal para escrevermos a expressão de cada projeção ortogonal. Em seguida, usaremos a propriedade associativa de produto escalar para simplificar a expressão resultante.

p r o j_vec u vec v = (vec v . vec u)/(|vec u|^2) vec u

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u))/(|vec u|^2) vec u) . vec v)/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u) ( vec u . vec v ))/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v

Passo 3

Notem, que fizemos exatamente a mesma coisa que fizemos na letra (a). Só que agora, vamos aplicar novamente a definição de projeção ortogonal para a expressão resultante do passo anterior.

p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ([((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v] . vec u)/(|vec u|^2) vec u

Se ligaram na maldade? Porque aplicar novamamente a definição de projeção ortogonal?

Para aparecer esse carinha p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) , né? Não é a expressão dele que queremos obter?

Dando continuidade na resolução, temos

p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ([((vec v . vec u)^2 ( vec v . vec u ))/(|vec u|^2 |vec v|^2)])/(|vec u|^2) vec u

p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ([((vec v . vec u)^3)/(|vec u|^2 |vec v|^2)])/(|vec u|^2) vec u

p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ((vec v . vec u)^3)/(|vec u|^2 |vec v|^2 |vec u|^2) vec u

p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ((vec v . vec u)^3)/(|vec u|^4 |vec v|^2) vec u

Resposta

Logo, p r o j_vec u (p r o j_vec v p r o j_vec u vec v) = ((vec v . vec u)^3)/(|vec u|^4 |vec v|^2) vec u

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