Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 60a

Sejam a → e b → nao-nulos.

(a) Enuncie uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → seja igual à projeção ortogonal de b → sobre a → .

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, devemos enunciar uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → seja igual à projeção ortogonal de b → sobre a → , sendo a → e b → não nulos.

Passo 2

Primeiramente, vamos usa a definição de projeção ortogonal para escrever as expressões para a projeção de a → sobre b → e de b → sobre a → . Dessa forma, temos

p r o j a → b → = a → . b → b → 2 b →       e       p r o j b → a → = b → . a → a → 2 a →

Passo 3

Igualando as duas expressões, temos:

a → . b → b → 2 b → = b → . a → a → 2 a →

| a → | | b → | c o s θ b → 2 b → = | a → | | b → | c o s θ ' a 2 a →

c o s θ b → 2 b → = c o s θ ' a 2 a →

b → a → 2 c o s θ = a → b → 2 c o s θ '

Passo 4

Da relação obtida no passo 3, podemos concluir que para que as projeções de a → sobre b → e de b → sobre a → sejam iguais, a → e b → devem ser ou iguais ou ortogonais. No primeiro caso, c o s θ = c o s θ ' = c o s 90 ° , o que resultaria em, b → a → = a → | b → | e, consequentemente p r o j a → b → = p r o j b → a → (iguais). No segundo caso, c o s θ = c o s θ ' = c o s 90 ° , logo p r o j a → b → = p r o j b → a → = 0 (ortogonais).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os vetores projeção de v → = 4 i → - 3 j → + 2 k → sobre os eixos cartesianos x , y e z .
Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → . u → = 3,1 , - 3 e v → =
Determinar o valor de k para que os vetores u → = ( - 2,3 ) e v → = ( k , - 4 ) sejam:paralelos
Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores:b)u → = ( 1 , - 1 ) e v → - ( - 4 , - 2 )
Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i → d) u → - v →