Sejam a → e b → nao-nulos.

(a) Enuncie uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → seja igual à projeção ortogonal de b → sobre a → .

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, devemos enunciar uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → seja igual à projeção ortogonal de b → sobre a → , sendo a → e b → não nulos.

Passo 2

Primeiramente, vamos usa a definição de projeção ortogonal para escrever as expressões para a projeção de a → sobre b → e de b → sobre a → . Dessa forma, temos

p r o j a → b → = a → . b → b → 2 b →       e       p r o j b → a → = b → . a → a → 2 a →

Passo 3

Igualando as duas expressões, temos:

a → . b → b → 2 b → = b → . a → a → 2 a →

| a → | | b → | c o s θ b → 2 b → = | a → | | b → | c o s θ ' a 2 a →

c o s θ b → 2 b → = c o s θ ' a 2 a →

b → a → 2 c o s θ = a → b → 2 c o s θ '

Passo 4

Da relação obtida no passo 3, podemos concluir que para que as projeções de a → sobre b → e de b → sobre a → sejam iguais, a → e b → devem ser ou iguais ou ortogonais. No primeiro caso, c o s θ = c o s θ ' = c o s 90 ° , o que resultaria em, b → a → = a → | b → | e, consequentemente p r o j a → b → = p r o j b → a → (iguais). No segundo caso, c o s θ = c o s θ ' = c o s 90 ° , logo p r o j a → b → = p r o j b → a → = 0 (ortogonais).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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