Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

66.

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A

D é o disco com centro na origem e raio R.

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

A questão nos deu uma integral dupla e quer que calculemos ela usando geometria ou simetria, ou dos dois jeitos.

Vamos considerar a expressão:

z = R 2 - x 2 - y 2

Melhorando a expressão,

R 2 = x 2 + y 2 + z 2

Parece a equação de uma esfera, né? Show!

Com isso temos que z ≥ 0 , já que a equação original que temos acima é positiva.

Passo 2

Observe que a região é uma esfera centrada na origem e de raio R.

Como estamos trabalhando com uma região onde z ≥ 0 , nossa região D será positiva.

Iremos utilizar da geometria para encontrar o volume da esfera!

A fórmula para encontrar o volume é:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ r 3

Como temos um raio R e metade positiva para a região, substituindo teremos:

V = 1 2 ⋅ 4 3 ⋅ π ⋅ R 3

V = 2 π R 3 3

Moleza, né?

Resposta

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = 2 π R 3 3

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