1. Esboce o gráfico da função F dada por

a) F x = ∫ 0 x f t d t     onde     f t = 2           s e     0 ≤ t < 1 1 t                             s e   t ≥ 1  

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, precisamos integrar e ver qual o jeitão da função F ( x ) . Como f ( t ) é limitada e descontínua apenas no ponto t = 1 . Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 ≤ x < 1 :

F x = ∫ 0 x f t d t

Se x ≥ 1 :

F x = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f t = 2 , pois 0 ≤ x ≤ 1

Assim,

F x = ∫ 0 x 2 d t

Integrando:

F x = 2 × x - 0

Assim,

F x = 2 x

Passo 3

Para o segundo caso:

F x = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Para 0 ≤ t < 1 :

f t = 2

Para t ≥ 1 :

f t = 1 t

Logo,

F x = ∫ 0 1 2 d t + ∫ 1 x 1 t d t

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + c

Integrando:

F x = 2 × t | 0 1 + ln ⁡ t | 1 x = 2 + l n x

Arrumando as coisas, temos:

F x = 2 × 1 - 0 + ln ⁡ x - ln ⁡ 1

Assim,

F x = 2 + ln ⁡ x

Juntando tudo, temos:

F ( x ) = 2 x ,                             0 ≤ x < 1 2 + ln ⁡ x ,                     x ≥ 1

Fazendo um gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados