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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 1a

  1. Esboce o gráfico da função F dada por

a) F (x) = int_0^x f (t) d t onde f (t) = {[[2 s e 0 <= t < 1],[(1)/(t) s e t >= 1]])

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, precisamos integrar e ver qual o jeitão da função F ( x ) . Como f ( t ) é limitada e descontínua apenas no ponto t = 1 . Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 <= x < 1 :

F (x) = int_0^x f (t) d t

Se x >= 1 :

F (x) = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f (t) = 2 , pois 0 <= x <= 1

Assim,

F (x) = int_0^x 2 d t

Integrando:

F (x) = 2 xx (x - 0)

Assim,

F (x) = 2 x

Passo 3

Para o segundo caso:

F (x) = int_0^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Para 0 <= t < 1 :

f (t) = 2

Para t >= 1 :

f (t) = (1)/(t)

Logo,

F (x) = int_0^1 2 d t + int_1^x (1)/(t) d t

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + c

Integrando:

F (x) = 2 xx t |_0^1 + ln (t) |_1^x = 2 + l n x

Arrumando as coisas, temos:

F (x) = 2 xx (1 - 0) + (ln (x) - ln (1))

Assim,

F (x) = 2 + ln (x)

Juntando tudo, temos:

F ( x ) = {[[2 x , 0 <= x < 1],[2 + ln (x) , x >= 1]])

Fazendo um gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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