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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 17

Seja f :   R → R   uma função diferenciável e seja g x , y = f y + f x y .   Verifique que

x ∂ f ∂ y + y ∂ g ∂ y = y f ' y

Passo 1

Antes de começar as contas, vamos fazer umas mudancinhas que vão salvar nossas vidas? Calma, bb! Não tô falando de parar de beber refri, mc donald’s e etc.. tô falando em chamar z 1 = y e z 2 = x y . Então nossa função agora tem a cara

g x , y = f y + f x y ⇒   g x , y = f z 1 + f z 2  

Agora, podemos partir pras contas (queria ir pra praia, mas ta bom também ).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia, tá? Ou seja,

∂ g ∂ x = f ' z 1 ⋅ d z 1 d x + f ' z 2 ⋅ d z 2 d x = 0 +   f ' z 2 ⋅ 1 y  

E,

∂ g ∂ y = f ' z 1 ⋅ d z 1 d y + f ' z 2 ⋅ d z 2 d y = f ' z 1 ⋅ 1 -   f ' z 2 ⋅ x y 2  

Senso assim,

x ∂ g ∂ x + y   ∂ g ∂ y = x y   f ' z 2 + y   f ' z 1 - x y f ' z 2

Cancelando os termos simétricos,

x ∂ g ∂ x + y   ∂ g ∂ y =     y   f ' z 1 = y   f ' ( y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.
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Nos Exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.