Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, obliquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

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Antes de calcular o gráfico, vamos achar as assíntotas para ter uma noção melhor de como essa função vai se comportar.

Começando pela assíntota vertical: ela ocorre para pontos não definidos, por exemplo pontos que o denominador zera ou raiz negativa, no caso da nossa equação não temos nenhum ponto que seja uma singularidade, então não possuímos nenhuma assíntota vertical, ou seja o gráfico não “explode” em nenhum ponto

A assíntota horizontal é calculada fazendo o e se a gente tiver um valor constante, esse é o ponto da onde temos a assíntota horizontal

Para resolver esse limite vamos dividir pelo denominador de maior potencia, no caso

Substituindo por , lembrando que divisão por , dá zero, vamos ter :

Então, como nossa assíntota horizontal não deu um número constante, não temos assíntota horizontal

Como a gente não tem assíntota horizontal, vamos analisar a assíntota oblíqua, um bizu bem bacana pra gente não fazer calculo é que a assíntota obliqua só vai existir quando a diferença entre os graus do numerador e denominador for 1.

Como o grau do numerador é 5 e do denominador é 2, não temos assíntota oblíqua.

A assíntota curvilínea é o quociente da divisão entre os polinômios de que vai ser a divisão entre os polinômios dividido por , fazendo a divisão entre os polinômios, achamos que o quociente dessa divisão é .

Agora que já temos as assíntotas, vamos fazer um esboço do gráfico.Sabemos que ele não explode em nenhum ponto, pois não temos assíntota vertical; ele não tem assíntota horizontal mas tem curvilínea, que é a curva .

No gráfico, a linha solida verde é nosso gráfico e a linha azul pontilhada a nossa assíntota curvilínea!