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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 30

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

30. f x = x 3 ln ⁡ x

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 3 x 2 ln ⁡ x + x 2 ≡ 0

3 x 2 ln ⁡ x = - x 2

ln ⁡ x = - 1 / 3

x = e - 1 / 3

Logo, a partir de x = e - 1 / 3   a função passa a crescer, até (+) infinito. O intervalo será:

( e - 1 3 ,   + ∞ )

Passo 3

(b)A função é decrescente desde x = 0 até o ponto de mínimo x = e - 1 / 3 . O intervalo é:

( 0 ,   e - 1 3 )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima a partir do primeiro ponto de inflexão em x = e - 5 / 6 , até (+) infinito. Logo, o intervalo será:

e - 5 / 6 ,   + ∞

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo desde x = 0 até o ponto de inflexão em x = e - 5 / 6 . Logo, o intervalo é

( 0 ,   e - 5 / 6 )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = 6 x ln ⁡ x + 5 x = 0  

6 x ln ⁡ x = - 5 x

ln ⁡ x = - 5 / 6

x = e - 5 / 6

Nesse ponto a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f g tem a propriedade indicada.a) f g é decrescente em - ∞ ,+ ∞ .
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53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.53. a) Se f e g forem crescentes em um intervalo, então f + g també