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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 85

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

85-

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1

Passo 1

Primeiramente vamos achar as assíntotas verticais:

x 2 - 1

x = ± 1

Então aparentemente temos assíntotas verticais em x = ± 1

Passo 2

Vamos agora testar fazer os limites da funções no infinito e nos pontos que encontramos para vermos se a função tem assíntotas horizontais e se os pontos são de fatos assíntotas ou somente pontos de indefinição.

Começando com - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1 = ∞ ∞

Fazendo L ' H o p i t a l

lim x → - ∞ ⁡ 4 x + 1 2 x = ∞ ∞

Fazendo de novo L’Hopital

lim x → - ∞ ⁡ 4 2 = 2

Note que esse limite independe do sinal do infinito, logo é valida para o valor da função em ± ∞ então temos uma assíntota horizontal em y = 2

Agora vamos fazer o limite para x = - 1 indo pela direita e pela esquerda.

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1 = 0 0

Fazendo L’Hopital:

lim x → - 1 - ⁡ 4 x + 1 2 x = - - 3 - 2 = 1.5

O mesmo é válido indo pela direita. Logo x = - 1 é um ponto de indefinição.

Agora para x = 1 indo pela esquerda

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1 = 2 0 - = - ∞

Agora pela direita:

lim x → 1 +   ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1 = 2 0 + = + ∞

O que é uma assíntota vertical de fato

Nesse ultimo caso pense em pegar pontos próximo como 0.99 e 1.01, se adotarmos 0.99 encontraremos uma conta como:

2 0.99 2 - 1

Onde 0.99 2 certamente é menor que 1 então dará um número negativo. Para 1.01 certamente seu quadrado é maior que 1 logo será positivo.

Passo 3

Agora vamos fazer as derivadas da função para encontrarmos possíveis pontos críticos e inflexões:

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 - 1

Fazendo a derivada dessa função temos:

y ' = 2 x 2 + x - 1 ' x 2 - 1 - ( 2 x 2 + x - 1 ) ( x 2 - 1 ) ' x 2 - 1 2 = 4 x + 1 x 2 - 1 - ( 2 x 2 + x - 1 ) ( 2 x ) x 2 - 1 2

Arrumando o numerador temos:

y ' = 4 x 3 + x 2 - 4 x - 1 - ( 4 x 3 + 2 x 2 - 2 x ) x 2 - 1 2 = - x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 x + 1 2 = - x + 1 2 x - 1 2 x + 1 2

O que é:

y ' = - 1 x - 1 2

Logo nossa função não possui pontos críticos.

Fazendo agora a derivada segunda temos:

y ' ' = - 1 ' x - 1 2 - 1 x - 1 2 ' x - 1 4 = + 2 x - 1 x - 1 4 = 2 x - 1 3

Logo não temos pontos de inflexão nem singularidades.

Passo 4

Organizando os intervalos com as assíntotas que temos: Pontos de teste: 0 e 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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