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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 90

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

90-

y = x 2 x 2 - 1

Passo 1

Podemos escrever a equação da seguinte forma:

y = x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Conseguimos ver que a equação pode ter assíntotas em x = 1 e x = - 1

Agora testando os limites para essas assíntotas e nos infinitos temos:

Para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1 = ∞ ∞

Como deu resultado indeterminado igual a ∞ ∞ podemos fazer L’Hopital:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

Esse resultado independe do sinal então é valido para ± ∞ tendo nossa assíntota horizontal y = 1

Agora testando para x = - 1 .

Indo pela esquerda

lim x → - 1 - ⁡ x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 0 - × - 2 = + ∞

Agora indo pela direita:

lim x → - 1 + ⁡ x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 0 + × - 2 = - ∞

Agora testando para x = 1

Indo pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 2 × 0 - = - ∞

Indo pela direita:

lim x → 1 + ⁡ x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 1 2 × 0 + = + ∞

Passo 2

Fazendo a primeira derivada para encontrar-mos seus pontos críticos nós teremos:

y ' = x 2 ' x 2 - 1 - ( x 2 ) ( x 2 - 1 ) ' x 2 - 1 2 = 2 x x 2 - 1 - ( x 2 ) ( 2 x ) x 2 - 1 2

Logo temos:

y ' = - 2 x x 2 - 1 2

Logo temos um ponto crítico em x = 0

Como encontramos essa mesma derivada na questão passada já podemos escrever.

y ' ' = 6 x 2 + 2 x 2 - 1 3

O que nos dá um ponto de máximo local para x = 0 e nenhum ponto de inflexão.

Passo 3

Temos a mesmíssima tabela da questão anterior.

Organizando nossos intervalos

Pontos de teste: -2, -0.5, 0.5, 2

Resposta

É o mesmo gráfico da questão porém 1 unidade para cima.

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