Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 45

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui, dado uma função, iremos encontrar os pontos pedidos.

Nessa questão, temos a seguinte função:

E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente

E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.

Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.

Ou pontos onde a derivada não exista:

Esses são pontos críticos da nossa função.

Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.

Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.

Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.

E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.

Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.

E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.

E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.

Passo 2

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal.

A função é:

Para deriva-la, usamos a regra do produto:

Para a nossa função temos:

Arrumando:

Estudando o sinal de temos que

Jogando o que tá dividindo para o outro lado multiplicando, temos:

Portanto,

Dessa forma temos que: se e se

é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .

Passo 3

Item b:

Aqui iremos utilizar o teste da primeira derivada.

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

A gente meio que já resolveu isso aí, só que na forma de inequação, na forma de equação, o resultado dá o mesmo, saca só

Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.

Passo 4

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda.

Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal: