Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 47
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Olá, meu amigo, Yuri aqui e eu e você iremos agora resolvermos juntos essa atividade de cálculo.
Aqui, dado uma função, iremos encontrar os pontos pedidos.
Nessa questão, temos a seguinte função:
Definida no intervalo .
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Ou pontos onde a derivada não exista:
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Passo 2
Item a:
Está alternativa nos pede para encontrarmos os intervalos em que a função dada é crescente ou decrescente.
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Então:
- se
- se
Portanto, é crescente para valores de no intervalo e decrescente em .
Passo 3
Item b:
Os pontos críticos de uma função são os valores de nos quais a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar a presença de mínimos locais, máximos locais ou pontos de inflexão na função.
Para encontrar o ponto crítico precisamos igualar a derivada da função a zero:
Então meu amigo, os pontos críticos podem ser classificados em três categorias principais:
Mínimo local: Se para valores de x à esquerda do ponto crítico e para valores de à direita do ponto crítico, então o ponto crítico indica um mínimo local.
Máximo local: Se para valores de à esquerda do ponto crítico e para valores de à direita do ponto crítico, então o ponto crítico indica um máximo local.
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local. Algo que pode ser visto no gráfico do passo anterior.
Passo 4
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo.
Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Ajeitando isso aí
Para deixar tudo em função do cosseno, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
Igualando-a a zero:
Podemos fatorar essa expressão encontrando suas raízes:
Então temos:
Então, analisando o sinal da função nos intervalos de pontos críticos de , para isso vou usar valores que estão dentro do intervalo.
concavidade para baixo
concavidade para cima
concavidade para cima
concavidade para baixo
A concavidade muda em e então são os nossos pontos de inflexão:
Passo 5
Item d:
Com as informações obtidas:
é crescente para valores de no intervalo e decrescente em .
é ponto de mínimo local.
possui concavidade para cima no intervalo e concavidade para baixo nos intervalos e . E os pontos de inflexão são e .
Podemos ter o seguinte gráfico que foi gerado no querido GeoGebra:
Resposta
(a) é crescente para valores de no intervalo e decrescente em .
(b) é ponto de mínimo local.
(c) possui concavidade para cima no intervalo e concavidade para baixo nos intervalos e . E os pontos de inflexão são e .
(d)
