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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 91

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

91-

y = - x 2 - 2 x 2 - 1

Passo 1

Podemos escrever essa função da seguinte maneira:

y = - ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

Pelo denominador da função vemos que a função tem assíntotas verticais em x = - 1 e x = 1 .

Fazendo limite dessa função tendendo a esses valores e a infinito temos:

Para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ - x 2 - 2 x 2 - 1 = - ∞ ∞

Como da indeterminação igual a ∞ ∞ podemos fazer l’hopital.

lim x → - ∞ ⁡ - 2 x 2 x = - 1

E esse resultado não depende do sinal do infinito sendo válido para os dois. Então temos uma assíntota horizontal em y = - 1

Para x = - 1

Indo pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ - x 2 - 2 x + 1 x - 1 = - - 1 0 - × - 2 = + ∞

Agora pela direita:

lim x → - 1 + ⁡ - x 2 - 2 x + 1 x - 1 = - - 1 0 + × - 2 = - ∞

Agora para valores perto de x = 1

Indo pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ - x 2 - 2 x + 1 x - 1 = - - 1 2 × 0 - = - ∞

Agora indo pela direita:

lim x → 1 + ⁡ - x 2 - 2 x + 1 x - 1 = - - 1 2 × 0 + = + ∞

Passo 2

Fazendo a primeira derivada para encontrarmos os pontos críticos da função temos:

y ' = - x 2 - 2 ' x 2 - 1 - ( x 2 - 2 ) ( x 2 - 1 ) ' x 2 - 1 2

y ' = - 2 x x 2 - 1 - x 2 - 2 2 x x 2 - 1 2 = - 2 x 1 x 2 - 1 2  

O que é a mesma derivada das questões anteriores, logo

y ' ' = 6 x 2 + 2 x 2 - 1 3

Ponto crítico em x = 0 e não temos pontos de inflexão.

Passo 3

Como nossos intervalos são os mesmos temos a mesma tabela:

Temos a mesmíssima tabela da questão anterior.

Organizando nossos intervalos

Pontos de teste: -2, -0.5, 0.5, 2

Resposta

É o mesmo gráfico dos outros só que com assíntota vertical em y = - 1

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