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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 47

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = x 2 + 1 - x

Passo 1

Oi galerinha, bora resolver essa comigo:

Vamos resolver cada parte da questão para a função

f x = x 2 + 1 - x

(a) Assíntotas Verticais e Horizontais

Para verificar assíntotas verticais, observamos onde a função pode ser indefinida.

A função f x = x 2 + 1 - x

É definida para todos os valores de x , pois (   x 2 +   1   ) é sempre positivo e a raiz quadrada é sempre definida.

Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 2

Assíntotas Horizontais

Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função quando

x →   ∞   e   x →   - ∞ :

Como   x → ∞ :

x 2 + 1 ≈ x 2 = x

Portanto,

f x = x 2 + 1 - x ≈ x - x = 0

Como   x → - ∞ :

x 2 + 1 ≈ x 2 = - x

Portanto,

f x = x 2 + 1 - x ≈ - x - x = - 2 x

Conclusão: f ( x ) tem uma assíntota horizontal em y = 0 conforme x →   ∞ .

Passo 3

(b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento

Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, encontramos a derivada primeira f ' x ;

f x = x 2 + 1 - x

Usando a regra da cadeia:

f ' x = d d x x 2 + 1 - d d x ( x )

f ' x = x x 2 + 1 - 1

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de f ' x :

f ' x = x x 2 + 1 - 1

Resolvemos f ' x = 0

x x 2 + 1 - 1 = 0

x x 2 + 1 = 1

x = x 2 + 1

Elevando ambos os lados ao quadrado:

  x 2 =   x 2 +   1  

  0   =   1

Portanto, f ' x = 0   não tem solução real. Agora, analisamos os sinais:

Passo 4

- Para x > 0 :

x x 2 + 1 > 1 → f ' x > 0

- Para x < 0 :

x x 2 + 1 > 1 → f ' x > 0

Portanto:

- A função é crescente em ( 0 ,   ∞ )

- A função é decrescente em ( - ∞ ,   0 )

Passo 5

(c) Valores Máximos e Mínimos Locais

Como não há pontos críticos onde f ' x = 0 e a função é crescente em ( 0 ,   ∞ ) e decrescente em ( - ∞ ,   0 ) não há máximos ou mínimos locais.

Passo 6

(d) Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão

Para determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, encontramos a segunda derivada f ' ' x :

f ' x = x x 2 + 1 - 1

Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar f ' ' x :

f ' ' ( x ) = d d x x x 2 + 1 - 1

Para derivar

x x 2 + 1

f ' ' x = x 2 + 1 ⋅ 1 - x ⋅ x x 2 + 1 x 2 + 1

f ' ' x = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

f ' ' x = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 3 2

f ' ' x = 1 x 2 + 1 3 2

Como f ' ' x > 0 para todo x , a função é côncava para cima em toda a sua extensão.

Passo 7

Assíntotas:

- Vertical: Nenhuma

- Horizontal: (   y   =   0   )

Intervalos de Crescimento e Decrescimento:

- Crescente: ( 0 ,   ∞ )

- Decrescente: ( - ∞ ,   0 )

Valores Máximos e Mínimos Locais:

- Nenhum máximo ou mínimo local.

Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:

- Concavidade para cima em toda a extensão ( - ∞ ,   ∞ )

- Nenhum ponto de inflexão.

Passo 8

Com base nas informações:

- A função tem uma assíntota horizontal em (   y   =   0   ) .

- A função é decrescente para (   x   <   0   ) e crescente para (   x   >   0   ) .

- A função é côncava para cima em toda a extensão.

Essas características indicam que o gráfico de f x desce à esquerda de (   x   =   0   ) , atinge um ponto mínimo em (   x   =   0   )   e depois sobe para a direita de   (   x   =   0   ) , aproximando-se de (   y   =   0   ) conforme (   x →   ∞   ) .

O gráfico nunca toca o eixo x (assíntota horizontal).

Resposta

Vide o passo a passo.

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