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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 54

Nos Exercícios ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 5 2   d y , calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais. Mas primeiramente vamos usar o método da substituição

Passo 2

Reorganizando fica:

∫ 0 3 2 1 1 - y 2 5 2 d y = ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 5 d y

= ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 2 . 1 - y 2 d y

= ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 2 . 1 1 - y 2 d y

= ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 2 . 1 1 - y 2 d y

Fazendo a substituição teremos:

y = s e n   u

d y = ( s e n   u ) ' d u

d y = c o s   u   d u

Fazendo a transformação dos limites de y para limites de u, temos:

y = s e n   u

0 = s e n   u

u = 0

e:

y = s e n   u

3 2 = s e n   u

u = π 3

= ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 2 . 1 1 - y 2 d y

Agora vamos resolver como integral indefinida para facilitar os cálculo:

= ∫ 1 1 - s e n 2 u 2 . 1 1 - s e n 2 u c o s   u   d u

Usando a identidade trigonométrica:

c o s 2   x = 1 - s e n 2 x

substituindo:

= ∫ 1 c o s 2   u 2 . 1 c o s 2   u c o s   u   d u

= ∫ 1 c o s 4   u . 1 c o s   u   c o s   u   d u

= ∫ 1 c o s 4   u   d u

Passo 3

Reorganizando teremos:

∫ 1 c o s 4   u   d u = ∫ s e c 4   u   d u

Agora vamos aplicar uma fórmula de redução:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

∫ s e c 4   u   d u =   s e c 4 - 2 u .   t g   u 1 . ( 4 - 1 )   + 4 - 2 4 - 1 ∫ s e c 4 - 2 u d u

=   s e c 2 u .   t g   u 3   + 2 3 ∫ s e c 2 u d u

E para continuar resolvendo ∫ s e c 2 u d u usaremos a seguinte fórmula:

∫ s e c 2   x   d x = t g   x

Substituindo:

=   s e c 2 u .   t g   u 3   + 2 3 . t g   u

Por último aplicamos a integral definida e lembrando que:

y = 0   → u = 0

y = 3 2 → u = π 3

logo:

= s e c 2 u .   t g   u 3   + 2 3 . t g   u 0 π 3

= s e c 2 π 3 .   t g   π 3 3   + 2 3 . t g π 3 - s e c 2 0 .   t g   0 3   + 2 3 . t g   0

= 4 .   3 3   + 2 3 . 3 - 0

= 4 .   3 + 2 3 3

= 6 3 3

= 2 3

Resposta

∫ 0 3 2 1 1 - y 2 5 2   d y = 2 3

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g) ∫ c o s x ⋅ c o s 2 x ⋅ c o s ( 3 x ) d x
f) ∫ s e n x ⋅ s e n 2 x ⋅ s e n ( 3 x ) d x
e) ∫ s e n n x cos ⁡ m x d x
c) ∫ c o s 2 x cos ⁡ x d x
e) ∫ - π π s e n n x cos ⁡ m x d x