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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 92

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

92-

y = x 2 - 4 x 2 - 2

Passo 1

Podemos escrever a equação da seguinte forma:

y = ( x + 2 ) ( x - 2 ) x + 2 x - 2

Pelo denominador podemos supor que temos assíntotas verticais em x = - 2 e x = 2

Fazendo então os limites tendendo a esses valores e a mais e menos infinito temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 x 2 - 2 = ∞ ∞

Como deu ∞ ∞ podemos aplicar L’Hopital:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

E essa assíntota em y = 1 é independente do sinal então temos esse valor para ± ∞

Agora fazendo limite para x = - 2

Indo pela esquerda

lim x → - 2 - ⁡ x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = - 2 0 - × - 2 2 = - ∞

Indo pela direita

lim x → - 2 + ⁡ x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = - 2 0 + × - 2 2 = + ∞

Agora fazendo o limite para x = 2

Indo pela esquerda

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = - 2 2 2 × 0 - = + ∞

Indo pela direita

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = - 2 2 2 × 0 + = - ∞

Passo 2

Fazendo a primeira derivada da questão para podermos encontrar os pontos críticos temos:

y ' = x 2 - 4 ' x 2 - 2 - ( x 2 - 4 ) ( x 2 - 2 ) ' x 2 - 2 2

y ' = 2 x x 2 - 2 - 2 x ( x 2 - 4 ) x 2 - 2 2 = 2 x ( 2 ) x 2 - 2 2 = 4 x x 2 - 2 2

Logo temos um ponto crítico em x = 0

Agora fazendo a segunda derivada ( y ' ' ) temos:

y ' ' = 4 x ' x 2 - 2 2 - ( 4 x ) ( x 2 - 2 2 ) ' x 2 - 2 4

y ' ' = 4 x 2 - 2 2 - 4 x 2 ( 2 x ) ( x 2 - 2 ) x 2 - 2 4

y ' ' = x 2 - 2 × 4 x 2 - 2 - 16 x 2 x 2 - 2 3

y ' ' = - 12 x 2 - 8 x 2 - 2 3

O que nos dá nenhum ponto de inflexão.

Passo 3

Organizando nossos intervalos:

Pontos de teste: - 2 , -1, 1, 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 20 x 3 - 3 x 5
Para cada aproximação inicial, determine graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para a função cujo gráfico é dado.a) x 1 = 0
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = (1)/((1 + e^(- x)))
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = (1 + e^x)^(- 2)