Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 8
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
A função está definida para todos os valores de x.
Portanto, o domínio é .
Passo 3
Vamos achar as interseções com os eixos e .
Para o ponto que corta o eixo , basta tomar , assim, .
Vemos então que a curva passa pela origem . Para as interseções com o eixo , fazemos , assim
Assim, as raízes são , .
As interseções com os eixos são e .
Passo 4
Para verificar a simetria, substituímos por e verificamos se a função permanece inalterada.
Neste caso:
Como , a função é impar e, portanto, simétrica em relação à origem.
Passo 5
Como se trata de um polinômio, não tem assíntotas:
Portanto, como a função é um polinômio de grau ímpar, não há assíntotas horizontais ou verticais.
Não há assíntotas oblíquas.
Passo 6
Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar :
Como , temos que
Assim, é ponto crítico porém não é extremo local. Por outro lado, é mínimo local e é máximo local.
Passo 7
Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:
Assim,
Resposta
Esboço da curva:
