Esboce as parábolas e elipses nos Exercícios 37-44. Inclua a diretriz correspondente ao foco na origem. Rotule os vértices com coordenadas polares apropriadas. Rotule também os centros das elipses.

r = 4 / (2 - sen(θ))

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será, através da equação polar dada, identificar se a cônica dada é uma parábola ou elipse, determinar qual a sua diretriz e esboçar um belo gráfico contendo a curva, seus vértices e diretriz(es).

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, tem o seguinte formato:

r = k e 1 - e   s e n θ  

Basta dividirmos todos os termos por 2, e reescrevendo da seguinte forma:

r = 4 2 2 2 - 1 2 s e n θ = 4 ∙ 1 2 1 - 1 2 s e n θ

Comparando as equações, obtemos:

e = 1 2 ,   k = 4

Ainda observando a equação, identificamos o sinal negativo no denominador e a função seno o que significa que a diretriz é na direção horizontal e pode ser descrita por y = - k .

Temos, assim:

Excentricidade: e = 1 2 < 1 o que indica uma elipse.

Diretriz: y = - 4

Veja ainda, o centro da elipse é dado por:

k e = 1 - e 2 a

a = k e 1 - e 2   ⟹ a = 4 ∙ 1 2   1 - 1 2 2 ⟹ a = 4 2   3 4 ⟹ a = 8 3

Assim,

e a = 1 2 ∙ 8 3 = 4 3

Portanto o centro é: 4 3 , π 2 .

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Excentricidade: e = 1 2 . Diretriz: y = - 4 . Centro: 4 3 , π 2 .

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