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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 28

No exercício a seguir, ache a equação polar do gráfico, considerando a equação cartesiana dada.

y 4 = x 2   ( a 2 - y 2 )

Passo 1

WOOOOW!! Agora temos um pequeno desafio, mas nada que não possamos resolverm não é mesmo? Primeiramente, a tabelinha para não esquecer:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

t a n θ = y x

Legal, vamos para a questão de fato!

Passo 2

A gente observa de cara que não tem nenhuma substituição óbvia ou manipulação para deixar com cara de questão que a gente já viu, mas relaxem... VAMOS COM CALMA PEQUENOS GAFANHOTOS!

y 4 = x 2   ( a 2 - y 2 )

Temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Logo:

( r s e n θ ) 4 = r c o s θ 2   a 2 - r s e n θ   2

Portanto:

r 4 s e n 4 θ = r 2 c o s 2 θ     a 2 - r s e n θ   2

Para não confundir a gente, vamos resolver aquele termo elevado ao quadrado isoladamente e depois integrar a nossa equação principal.

Passo 3

Isoladamente, temos que:

a 2 - r s e n θ   2

Desenvolvendo algebricamente, temos:

a 2 - r s e n θ   2

a 4 - 2 * a 2 r s e n θ   + r 2 s e n 2 θ

Isolando o a², temos:

a 2 ( a 2 - 2 * r s e n θ   ) + r 2 s e n 2 θ

Passo 4

Agora vamos voltar a equação principal, aplicando a que a gente descobriu. ALERTA!! Vai parecer beeeem complicada e feia a nossa equação, mas basta poucas passagens e ela fica linda, confiem em mim!

Portanto,

r 4 s e n 4 θ = r 2 c o s 2 θ     a 2 - r s e n θ   2

Se transforma em:

r 4 s e n 4 θ = r 2 c o s 2 θ   * ( a 4 - 2 * a 2 r s e n θ   + r 2 s e n 2 θ )

Aplicando a distributiva:

r 4 s e n 4 θ = a 4 r 2 c o s 2 θ   - 2 a 2 r 3 c o s 2 θ s e n 2 θ + r 4 c o s 2 θ s e n 2 θ

Isolando os r’s no termo da direita:

r 4 s e n 4 θ = r 2 ( a 4 c o s 2 θ   - 2 a 2 r   c o s 2 θ s e n 2 θ + r 2 c o s 2 θ s e n 2 θ )

r 2 s e n 4 θ = a 4 c o s 2 θ   - 2 a 2 r   c o s 2 θ s e n 2 θ + r 2 c o s 2 θ s e n 2 θ

Agora, prestem atenção o quão limpa vai ficar nossa equação. Vamos dividir tudo por sen²   θ .

r 2 s e n 4 θ = a 4 c o s 2 θ   - 2 a 2 r   c o s 2 θ s e n 2 θ + r 2 c o s 2 θ s e n 2 θ

r 2 s e n 2 θ = a 4 c o t 2 θ   - 2 a 2 r   c o s 2 θ + r 2 c o s 2 θ

r 2 s e n 2 θ = a 4 c o t 2 θ   - c o s 2 θ ( 2 a 2 r   + r 2 )

r 2 s e n 2 θ = a 4 c o t 2 θ   - c o s 2 θ ( 2 a 2 r   + r 2 )

Dividindo tudo por cos²   θ :

r 2 s e n 2 θ = a 4 c o t 2 θ   - c o s 2 θ ( 2 a 2 r   + r 2 )

r 2 t a n ² θ = a 4 c o s e c 2 θ   - ( 2 a 2 r   + r 2 )

Logo:

2 a 2 r   + r 2 = a 4 c o s e c 2 θ   - r 2 t a n 2 θ

Resposta

2 a 2 r   + r 2 = a 4 c o s e c 2 θ   - r 2 t a n 2 θ

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Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas. x = 3
Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas. x 2 + y 2 + y 2 = 2
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ 2 ( sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ ) = 4
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = 2 cos ⁡ ϕ
Identifique a superfície cuja equação é dada. r 2 = r