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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 39

Esboce as parábolas e elipses nos Exercícios 37-44. Inclua a diretriz correspondente ao foco na origem. Rotule os vértices com coordenadas polares apropriadas. Rotule também os centros das elipses.

r = 25 10 - 5 c o s θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será, através da equação polar dada, identificar se a cônica dada é uma parábola ou elipse, determinar qual a sua diretriz e esboçar um belo gráfico contendo a curva, seus vértices e diretriz(es).

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, tem o seguinte formato:

r = k e 1 - e   c o s θ  

Basta dividirmos todos os termos por 10, e reescrevendo da seguinte forma:

r = 25 10 10 10 - 5 10 c o s θ = 5 ∙ 1 2 1 - 1 2 c o s θ

Comparando as equações, obtemos:

e = 1 2 ,   k = 5

Ainda observando a equação, identificamos o sinal negativo no denominador e a função cosseno o que significa que a diretriz é na direção vertical e pode ser descrita por x = - k .

Temos, assim:

Excentricidade: e = 1 2 < 1 o que indica uma elipse.

Diretriz: x = - 5

Veja ainda, o centro da elipse é dado por:

k e = 1 - e 2 a

a = k e 1 - e 2   ⟹ a = 5 ∙ 1 2   1 - 1 2 2 ⟹ a = 5 2   3 4 ⟹ a = 10 3

Assim,

e a = 1 2 ∙ 10 3 = 5 3

Portanto o centro é: 5 3 , 0 .

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Excentricidade: e = 1 2 . Diretriz: x = - 5 . Centro: 5 3 , 0 .

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