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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 25

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x 2 ,   y = 2 x 2 + 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas. Para isso, iremos igualar as equações

y = x 2

y = 2 x 2 + 1

2 x 2 + 1 = x 2

x 4 + x 2 = 2

Dessa forma, ou x = - 1 ou x = 1 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ - 1 1 x - x 2 d x  

A = ∫ - 1 1 2 x 2 + 1 - x 2 d x   = 2 tan - 1 ⁡ x - x 3 3 - 1 1 = π - 2 3

Resposta

A = π - 2 3

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Quais das seguintes áreas são iguais? Por quê?
Calcule ∫ - 2 2 x + 3 4 - x 2 d x descrevendo-a como uma soma de duas integrais e interpretando uma dessas integrais em termos de uma área.
Encontre a área da região delimitada pela hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 e a reta x = 3
Demonstre a fórmula A = 1 2 r 2 θ para a área de um setor circular com raio r e ângulo central θ .
Use o gráfico para aproximar as raízes da equação x 2 4 - x 2 = 2 - x . Então, aproxime a área limitada pela curva y = x 2 4 - x 2 e a reta y = 2 - x .