Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 19
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.
em torno de
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema queremos determinar o volume gerado pela rotação da região em torno no eixo .
Podemos calcular o volume através da fórmula:
Sabemos então que e , é a curva , vamos calcular a área agora, como rotacional em que é a reta , temos:
Onde usamos o raio como a curva limite.
Pronto, agora só falta calcular o volume:
Veja só!
Passo 2
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Calculando a integral...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá:
E aí! o que achou? Responde Aí!