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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 20

Use a regra de Simpson com n = 10   para estimar a areada superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x   . Compare a sua resposta com o valor fornecido pela sua calculadora.

y = x ln ⁡ x   ,   1 ≤ x ≤ 2  

Passo 1

A integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x é

∫ 2 π y   d s ,

Com d s =   1 + d y d x 2 d x  

No nosso caso,

y = x ln ⁡ x   ⇒ d y d x = ln ⁡ x   + 1   ⇒ d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + x ln ⁡ x   + 1 2 d x

Substituindo,

S = ∫ 0 1 2 π     x ln ⁡ x   1 + x ln ⁡ x   + 1 2   d x  

Passo 2

Vamos considerar f x =   2 π     x ln ⁡ x   1 + x ln ⁡ x   + 1 2 . Para n = 10  

Δ x = 1 - 0 10 = 1 10

Usando Simpson,

S ≈ 1 20   f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0,2 + 4 f 0,3 + 2 f 0,4 + 2 f 0,5 + 2 f 0,6 + 4 f 0,7 ) + 2 f 0,8 + 4 f ( 0,9 ) + f 1

Fazendo as contas,

S ≈ - 1,9220910

Pela calculadora é

S ≈ - 1,923190

Resposta

Simpson S ≈ - 1,9220910 , calculadora S ≈ - 1,923190

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