Enunciado

Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).

S = x ,   y ; x ≥ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 / ( x 3 + x )  

Passo 1

Vamos esboçar a região primeiro, beleza?

Olhando a interseção entre todas essas informações , a região que temos é a de rosa

Passo 2

Agora, vamos calcular a área,

Com ajuda das informações dadas,

A = ∫ 0 ∞ x e - x d x

Como temos uma integral imprópria,

A = ∫ 0 ∞ x e - x d x =  

Usando integração por partes,

Tomando u = x ⇒ d u = d x   e d v = e - x d x   ⇒     v =   - e - x

lim h → ∞ ⁡ ∫ 0 h x e - x d x   =   l i m h → ∞   - x e - x ​ 0 h -   ∫ 0 h - e - x d x =     l i m h → ∞   - h e - h + e - x ​ 0 h

Substituindo,

l i m h → ∞   - h e - h + e - x ​ 0 h =   l i m h → ∞   - h e - h + e - h - 1 =   l i m h → ∞ e - h - h + 1 - 1

Mas,

l i m h → ∞ e - h - h + 1 =     l i m h → ∞ - h + 1 e h = ∞ ∞

Usando Lhospital,

l i m h → ∞ - h + 1 e h =   l i m h → ∞ - 1 e h = 0  

Substituindo

l i m h → ∞ e - h - h + 1 - 1 = - 1  

Resposta

A = - 1

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