Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita)

S = { (x, y) | x >= 1, 0 <= y <= e^(-x) }

Passo 1

Pra facilitar nossa vida, vamos esboçar como fica essa região. Olha só:

Assim, podemos ver que basta integrar de x = 1 até x = ∞ . Então vamos integrar de x = 1 ate x = b e fazer o limite de b indo pra infinito.

Passo 2

Reescrevendo nossa integral:

A = ∫ 1 b e - x d x

Não esquece: ∫ e a x d x = e a x a + c  

Integrando:

A = - e - x 1 b

Isto é,

A = - 1 e x 1 b

Aplicando entre esses pontos:

A = - 1 e b - - 1 e

Simplificando, temos:

A = - 1 e b + 1 e

Quando b → ∞ o fator 1 e b irá tender para zero. Assim,

A = 1 e

Resposta

1 e

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