Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 66
Demonstre a parte do teorema .
Demonstre a parte do teorema .
Passo 1
E aí, tudo bom?! Aqui a gente tem uma questãozinha de demonstração! Temos que demonstrar as partes e do teorema dado no livro!
Mas o que diz esses teoremas?
Bem, vamos imaginar as funções e e elas são contínuas em , então as seguintes funções compostas são contínuas:
Na parte o é uma constante real!
Para demonstrar que isso é verdade, utilizaremos a seguinte definição de continuidade:
A partir disso vamos usar as propriedades de limite:
Agora bora colocar a mão na massa!
Passo 2
Vamos começar pela letra (a), temos que demonstrar que é contínua! Temos que:
Para o nosso caso temos:
Isso obedece a condição de continuidade que vimos lá no passo 1, portanto se é uma função contínua em , então também é!
Passo 3
Agora vamos pra letra (b), temos que provar que:
É contínua em desde que seja diferente de . Temos que:
Podemos dizer que:
Como isso obedece a condição de continuidade, então a nossa função composta é contínua!
Resposta
Demonstração