Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

r = t * g * theta * sec(theta)

Passo 1

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 2

Vamos manipular a equação do enunciado para acharmos relações que possam ajudar na resolução, substituindo t g   θ por sen ⁡ θ cos ⁡ θ e sec ⁡ θ por 1 cos ⁡ θ :

r = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ 1 cos ⁡ θ

Multiplicando cos ⁡ θ dos dois lados já conseguimos uma relação do lado esquerdo enquanto cancelamos a sec ⁡ θ do outro lado:

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ 1 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Antes de irmos as substituições precisamos isolar sen ⁡ θ e cos ⁡ θ na definição para substituirmos do lado direito:

Na primeira equação x = r ⋅ c o s   θ vamos apenas dividir por r dos dois lados:

x r = r r ⋅ c o s   θ

Invertendo os lados temos:

cos ⁡ θ = x r

Repetindo o mesmo processo para y = r ⋅ sen ⁡ θ chegamos em:

sen ⁡ θ = y r

Passo 4

Por fim é só substituir:

r ⋅ cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Do lado esquerdo podemos usar a definição x = r ⋅ c o s   θ e do lado direito é só usar as relações que encontramos neste passo

x =   y r x r

Fazendo a divisão de frações e cancelando o r :

x = y r ⋅ r x

x = y x

Multiplicando x dos dois:

x 2 = y x ⋅ x

Invertendo os lados, chegamos em:

y = x ²

Resposta

y = x ²

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