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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 47

As superfícies ρ = 1 + 1 5   s e n   m θ   s e n   n ϕ têm sido usadas para modelar tumores. A “esfera rugosa” com m = 6 e n = 5 está mostrada. Utilize um sistema de computação algébrica para determinar seu volume.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo bem?

A questão pede para calcularmos o volume do “tumor”.

O volume de um sólido em coordenadas esféricas é dado por:

V = ∭ E d V

Onde:

d V = ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Então precisamos achar os limites de integração em coordenadas esféricas para o nosso sólido. Daí é só jogarmos a integral que encontramos em um software para obter esse resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Temos para ρ que:

ρ = 1 + 1 5   s e n   m θ   s e n   n ϕ

Substituindo os valores de m e n dados no enunciado, temos:

ρ = 1 + 1 5 s e n   6 θ   s e n   5 ϕ

Como não temos restrições para θ e ϕ , eles assumem todos os valores possíveis. Então, temos que a região do tumor é:

D = ρ , θ , ϕ     0 ≤ ρ ≤ 1 + 1 5 s e n   6 θ   s e n   5 ϕ ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π }  

Assim, a integral fica:

V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ   ∫ 0 1 + 1 5 s e n   6 θ   s e n   5 ϕ ρ 2   s e n   ϕ   d ρ

Note que já separamos cada integral com sua respectiva variável de integração e seus limites.

Passo 3

Utilizando o computador para calcular a integral ou uma calculadora científica:

V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ   ∫ 0 1 + 1 5 s e n   6 θ   s e n   5 ϕ ρ 2   s e n   ϕ   d ρ

Temos:

V = 136 π 99

Resposta

V = 136 π 99

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