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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 27

Utilize as coordenadas esféricas.

Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 6 e ϕ = π / 3 .

Passo 1

Vamos lá pessoal, aqui temos que encontrar o volume de um sólido utilizando uma integral tripla, a grande sacada dessa questão está na hora de definir os limites de integração, pois dependerá dos cones ϕ = π / 6 e ϕ = π / 3 .

E como calcular o volume desse sólido?O volume do sólido será a integral tripla da função constante igual 1 , em outras palavras:

V = ∭ D d V

No caso, a região de integração, em coordenadas esféricas, é dada por:

D = { ρ , θ , ϕ |   0 ≤ ρ ≤ a ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     π 6 ≤ ϕ < π 3   }

Assim, lembrando que em coordenadas esféricas d V = ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ :

V = ∫ 0 a d ρ   ∫ 0 2 π d θ   ∫ π / 6 π / 3 ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 2

Resolvendo a integral temos: V = ∫ 0 a d ρ   ∫ 0 2 π d θ   ∫ π / 6 π / 3 ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ   = ∫ 0 a ρ 2   d ρ   ∫ 0 2 π d θ   ∫ π 6 π 3 s e n   ϕ   d ϕ

Fazendo a integral em ϕ :

Resolvendo a integral

∫ π / 6 π / 3 s e n   ϕ   d ϕ = - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ π 6 = - 1 2 + 3 2 = 3 - 1 2

Assim,

V = 3 - 1 2 ⋅ ∫ 0 a ρ 2   d ρ ⋅ ∫ 0 2 π d θ

Portanto,

3 - 1 2 ( ρ 3 ) 3 0 a     ⋅ ∫ 0 2 π d θ

3 - 1 2 ( a 3 ) 3 ∫ 0 2 π d θ = 3 - 1 2 ( a 3 ) 3 θ ( 0 2 π )

Substituindo os valores e simplificando:

V = 3 - 1 2 ⋅ a 3 3 ⋅ 2 π = π 3 - 1 a 3 3

Resposta

π 3 - 1 a 3 3

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