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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 71

Uma escada deverá passar por cima de um muro de h   m de altura e alcançar uma parede que está a w   m depois do muro. Ache o menor comprimento que a escada a ser usada pode ter.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer nessa questão é m esboço do que está acontecendo. Segue o esboço com a escada, muro e parede.

Perceba que adicionei os comprimentos x e y . O comprimento C da escada é justamente a hipotenusa de um triângulo retângulo. Podemos escrever o seguinte:

C 2 = x + w 2 + y + h 2   →       C = x + w 2 + y + h 2                 x , y > 0

Agora vamos tentar deixar o x em função de y usando semelhança de triângulos. Basta perceber que:

x w = h y   →       x = w h y

Substituindo em C temos:

C ( y ) = w h y + w 2 + y + h 2

Passo 2

Para achar o menor comprimento, vamos derivar essa função que depende apenas dos valores de y e igualar 0 .

C ' y = w h y - 1 + w 2 + y + h 2 ' 2 w h y + w 2 + y + h 2 = w h y - 1 + w w h y - 1 ' + y + h w h y + w 2 + y + h 2

C ' y = - w h y + w w h y 2 + y + h w h y + w 2 + y + h 2 = - w 2 h 2 y 3 - w 2 h y y 3 + y + h w h y + w 2 + y + h 2

C ' y = y - w 2 h y y 3 + h - w 2 h 2 y 3 w h y + w 2 + y + h 2 = y 1 - w 2 h y 3 + h 1 - w 2 h y 3 w h y + w 2 + y + h 2

C ' y = 1 - w 2 h y 3 ( y + h ) w h y + w 2 + y + h 2 = 0       →         1 - w 2 h y 3 y + h = 0  

Daí, y + h = 0 não pode, pois y > 0 e temos 1 - w 2 h y 3 = 0   →     y 3 = w 2 h →       y = w 2 h 1 3 . Sendo assim, o ponto crítico é y = w 2 h 1 3 .

Perceba agora que se y > w 2 h 1 3 , então C ' y > 0 e se 0 < y < w 2 h 1 3 , então C ' y < 0 . Isso indica que nós temos o ponto de mínimo absoluto no y = w 2 h 1 3 .

O menor comprimento será C w 2 h 1 3 = w h w 2 h 1 3 + w 2 + w 2 h 1 3 + h 2

= w 2 h w 2 3 h 1 3 + 1 2 + w 2 3 h 1 3 2 1 + h w 2 3 h 1 3 2 = 1 + h 2 3 w 2 3 2 w 2 + w 2 3 h 1 3 2

= 1 + h 2 3 w 2 3 2 w 2 1 + w 2 3 h 1 3 2 w 2 = w 2 1 + h 2 3 w 2 3 2 1 + w 4 3 h 2 3 w 2

= w 2 1 + h 2 3 w 2 3 2 1 + h 2 3 w 2 3 = w 2 1 + h 2 3 w 2 3 3 = w 1 + h 2 3 w 2 3 3 2

= w 2 3 3 2 1 + h 2 3 w 2 3 3 2 = w 2 3 + h 2 3 3 2

O menor comprimento é w 2 3 + h 2 3 3 2   m .

Resposta

O menor comprimento é w 2 3 + h 2 3 3 2   m .

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