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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 66

Sob um monopólio (veja Exercício 31 nos Exercícios 4.8), x unidades são demandadas diariamente sendo p o preço por unidade e x 2 + p = 320 . Se o custo total da produção de x unidades for dado por C x = 20 x , ache o lucro total diário máximo.

Passo 1

Pessoal, o lucro é dado pela receita total menos o custo, certo? Vamos considerar p reais o preço por unidade. Então teremos a seguinte função:

L x = R x - C x = R x - 20 x

Vamos achar R ( x ) . Se x 2 + p = 320 , então p = 320 - x 2 e R x = x p = x 320 - x 2 . Sendo assim,

L x = x 320 - x 2 - 20 x = 320 x - x 3 - 20 x = 300 x - x 3

L x = 300 x - x 3

Passo 2

Para achar o lucro máximo, basta derivar e igualar a 0 para verificar os pontos críticos.

L ' x = 300 - 3 x 2 = 0     →       300 = 3 x 2 →       x 2 = 100     →       x = 10

Perceba que se x > 10 , L ' x < 0 e se x < 0 , L ' x > 0 , isso indica justamente um ponto de máximo, mas será que é absoluto? Sim!

A função é descrescente após o x = 10 e nosso x ≥ 0 , para x = 0 , temos L 0 = 0 . Então o nosso máximo absoluto em 0 , ∞ é:

L 10 = 300 ⋅ 10 - 10 3 = 3000 - 1000 = 2000

Portanto o lucro máximo diário é 2000 .

Resposta

2000  Reais

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