Sob um monopólio (veja Exercício 31 nos Exercícios 4.8), unidades são demandadas diariamente sendo o preço por unidade e . Se o custo total da produção de unidades for dado por , ache o lucro total diário máximo.
Passo 1
Pessoal, o lucro é dado pela receita total menos o custo, certo? Vamos considerar reais o preço por unidade. Então teremos a seguinte função:
Vamos achar . Se , então e . Sendo assim,
Passo 2
Para achar o lucro máximo, basta derivar e igualar a para verificar os pontos críticos.
Perceba que se , e se , , isso indica justamente um ponto de máximo, mas será que é absoluto? Sim!
A função é descrescente após o e nosso , para , temos . Então o nosso máximo absoluto em é:
Portanto o lucro máximo diário é .