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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 9

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ D x y   d A ,

onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .

Passo 1

Devemos primeiro passar a integral para coordenadas polares lembrando que d A = r   d r   d θ e que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .

Como a região de integração é um disco de raio 3 com centro na origem, temos que 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Assim,

∬ D x y   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 3 cos ⁡ θ   s e n   θ   d r   d θ

Passo 2

Portanto,

∬ D x y   d A = ∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ   d θ ∫ 0 3 r 3   d r

Note que a primeira integra se anula se fizermos u = s e n   θ :

∫ 0 2 π s e n   θ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 0 u   d u = 0

Assim,

∬ D x y   d A = 0

Resposta

0

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Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .2-
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .1
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2d x d y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.20- A região dentro do círculo r = 4s e nθ e fora do círculo r = 2