Determine a derivada da função vetorial.

r(t) = e^(t^2) * i - j + ln(1 + 3t) * k

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a derivar hoje.

Dada a função vetorial:

r t = e t 2   i - j + ln ⁡ 1 + 3 t k

Devemos encontrar a derivada r ' t .

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Isso é, devemos derivar cada termo da nossa função vetorial.

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = e t 2 i - j + l n ⁡ ( 1 + 3 t ) k

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x g ' ( x )

Iremos utilizar a regra da cadeia para derivar e t 2 porque temos aí uma composição de funções. Iremos utilizar também para l n ⁡ ( 1 + 3 t ) , pelo mesmo motivo.

Então:

r t = d e t 2 d t i + d - 1 d t j + d ln ⁡ 1 + 3 t d t k

d e t 2 d t = d d t e t ⋅ d d t t 2

E

d ln ⁡ 1 + 3 t d t = d d g t ln ⁡ g t ⋅ d d t 1 + 3 t

Substituindo então os resultados que obtivemos:

r ' t = 2 t e t 2 i + 0 j + 3 1 + 3 t k

r ' t = 2 t e t 2 i + 3 1 + 3 t k

Resposta

r ' t = 2 t e t 2 i + 3 1 + 3 t k

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